| 2:43a |
Квазиассоциативные градуированные квазиалгебры
[Когда-то в юности я сформулировал тезис, что топологической алгебры (в смысле алгебраических структур с топологией) следует по возможности избегать, поскольку это очень зыбкая почва. На практике, осуществление этого тезиса превратилось в деятельность по описанию тех или иных конкретных классов объектов топологической алгебры в нетопологических терминах. Так я стал заниматься сначала коалгебрами, а потом полуалгебрами и контрамодулями. Вот еще одно нехитрое упражнение на ту же тему: как избегать использования топологических ассоциативных алгебр и коалгебр в гомологической алгебре.]
Квазиассоциативная квазиалгебра с квазиединицей -- это набор векторных пространств An, соответствующих пространствам A⊗n в случае обычной ассоциативной алгебры. Между пространствами An есть отображения, соответствующие отображениям умножения и единицы между A⊗n. На самом деле, квазиассоциативная квазиалгебра с квазиединицей над полем k -- это то же самое, что симплициальное k-векторное пространство, снабженное отображением в него из постоянного симплициального векторного пространства k. [Кстати, прямо сейчас вот, в процессе написания этого постинга, первый раз в моей самостоятельной научной работе возникли симплициальные объекты -- своего рода нетривиальное достижение.]
Квазиассоциативная градуированная квазиалгебра с квазиединицей -- это набор векторных пространств Am1,...,mn, соответствующих пространствам Am1⊗...⊗Amn. [Идея в том, что если имеется градуированная алгебра функционально-аналитического толка, и известно, что хотелось бы считать пополненными тензорными произведениями ее компонент, то вместо того, чтобы определять топологию и топологические тензорные произведения, а потом переживать из-за неабелевости категории топологических векторных пространств и неточности тензорных произведений в ней, можно просто объявить наши пополненные тензорные произведения компонентами квазиалгебры и дальше уже с ней возиться.]
Градуированная квазиалгебра с внешними произведениями -- это квазиалгебра, для которой заданы отображения Am1,...,mk ⊗ Amk+1,...,mk+n → Am1,...,mk+n. Категория градуированных квазиалгебр абелева, а категория градуированных квазиалгебр с внешними произведениями -- уже нет.
Определение градуированной квазикоалгебры получается из определения градуированной квазиалгебры обращением стрелок. Определение градуированной квазикоалгебры с внешними произведениями получается добавлением к определению градуированной квазикоалгебры внешних произведений, которые являются отображениями, направленными в ту же сторону, что и для квазиалгебр (тут двойственность нарушается).
Хотелось бы определить понятие кошулевой градуированной квазиалгебры и построить эквивалентность категорий кошулевых градуированных квазиалгебр и квазикоалгебр, при которой объекты с внешними произведениями соответствовали бы объектам с внешними произведениями. |