| 4:44a |
Мотивные когомологии с конечными коэффициентами
Известное их описание в терминах этальных когомологий опирается на два довольно разных утверждения:
1. Гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума об этальном спуске: Z(j) = τ≤ j Rπ*π*Z(j) = τ≤ j+1 Rπ*π*Z(j), где π: Et → Zar.
2. Теорема жесткости Суслина: π* Z/m(j) = μm⊗j для схем с характеристиками полей вычетов, не делящими m.
Для особых многообразий это описание неверно; достаточно рассмотреть мотивные когомологии аффинной прямой с двумя склеенными точками с коэффициентами в Z/m(0), определяемые как соответствующий Hom из мотива этой особой кривой в Z/m в категории мотивов над полем (комплексных чисел, скажем). Пример этот, кстати, также показывает, что для особых многообразий Z(0) не есть постоянный пучок Z (если я правильно понимаю, что все это значит).
Какое из утверждений 1 и 2 нарушается в случае особых многообразий?
Похоже, что в этом примере с нодальной прямой и j=0 утверждение 2. сохраняется, поскольку соответствующий класс первых мотивных когомологий с конечными коэффициентами умирает в этальных накрытиях. Получается, что 1. неверно, да? |