Внутренние автоморфизмы конильпотентных коалгебр Двойственное векторное пространство C* к конильпотентной коалгебре C является проконечномерной топологической алгеброй с пронильпотентным идеалом аугментации. У алгебры C* есть внутренние автоморфизмы -- сопряжения с помощью обратимых элементов, они же элементы, на которых гомоморфизм аугментации принимает ненулевые значения. Можно ограничиться элементами, аугментация которых равна единице. Будучи непрерывными, внутренние автоморфизмы C* соответствуют некоторым автоморфизмам коалгебры C, которые мы будем тоже называть внутренними.
Известно что, как общее правило, внутренние автоморфизмы действуют тождественно на когомологиях. Похоже, что в вышеописанной ситуации верно более сильное утверждение -- внутренние автоморфизмы C действуют тождественно на DG-алгебре, вычисляющей Ext
C(k,k), рассматриваемой как объект категории всех DG-алгебр над k с точностью до квазиизоморфизма.
А как же кошулева двойственность, которая должна быть эквивалентностью категорий дифференциальных алгебр и коалгебр? А кошулева двойственность связывает конильпотентные DG-коалгебры с аугментированными DG-алгебрами. Если же рассматривать DG-алгебру, вычисляющую Ext
C(k,k), как объект категории аугментированных DG-алгебр над k с точностью до квазиизоморфизма, то внутренние автоморфизмы C уже действуют на этом объекте вовсе даже нетривиально.
Но кошулева двойственность также связывает конильпотентные CDG-коалгебры с неаугментированными DG-алгебрами? Да, и отсюда следует, что если рассмотреть образ нашей коалгебры C в категории конильпотентных CDG-коалгебр с точностью до фильтрованного квазиизоморфизма, то на этом образе внутренние автоморфизмы C будут действать тривиально.
Этими удивительными утверждениями разрешается, как сейчас мне кажется, противоречие в науке, которое недавно
упоминалось.