| 1:25a |
Частично сопряженные частично определенные производные функторы - 2
Из предыдущего постинга может сложиться впечатление, что частично определенные производные функторы от сопряженных функторов всегда сопряжены. В некотором смысле это в самом деле там утверждается, но тут есть одна тонкость -- производные функторы, которые там рассматриваются, хотя и могут быть частично определенными, берутся вдоль по всей категории H' или H''.
Допустим, у нас есть функтор F: H'→H'' (и сопряженный к нему функтор G в обратную сторону), но производный функтор мы умеем строить только у ограничения F на некую полную подкатегорию E'⊂H' (такая ситуация возникает, например, в связи с производным функтором обратного образа (квази)когерентных CDG-модулей). Можно предположить, для симметрии, что у ограничения функтора G на некую полную подкатегорию E''⊂H'' тоже есть производный функтор; обозначим их через LE'F и RE''G. В обоих случаях имеются в виду производные функторы относительно неких локализующих классов T' и T'' в E' и E'', содержащихся в S' и S'.
Что нужно для того, чтобы эти частичные производные функторы были частично сопряжены, т.е.
HomH''[S''−1](LE'F(X), Y) = HomH'[S'−1](X, RE''G(Y))
для всех X из E'[T'−1] и Y из E''[T''−1]? Ответ состоит в том, что, согласно предыдущему постингу, достаточно того, чтобы производный функтор вдоль E' и T' совпадал с производным функтором вдоль H' и S', примененным к объекту из E' (и то же для E''). Для этого достаточно, чтобы морфизмы в объект X∈E', принадлежащие T', образовывали конфинальную подкатегорию в направленной категории всех морфизмов в объект X, принадлежащих S'. Это гораздо более сильное условие, чем S'∩E' = T' и даже чем полная строгость функтора E'[T'−1] → H'[S'−1].
В триангулированной ситуации, это условие конфинальности превращается в знакомое условие, что всякий морфизм из объекта X∈E' в объект толстой подкатегории A'⊂H', соответствующей локализующему классу S', факторизуется через некоторый объект толстой подкатегории B'⊂E', соответствующей локализующему классу T'. |