Матричные факторизации: горенштейнов случай Пусть X -- горенштейнова (нетерова отделимая, с достаточным числом векторных расслоений) схема конечной размерности Крулля. Тогда копроизводная категория локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга (какого-то сечения линейного расслоения) на X эквивалентна копроизводной категории квазикогерентных матричных факторизаций.
Доказательство: на горенштейновой схеме классы квазикогерентных пучков конечной инъективной размерности и конечной локально свободной (или плоской) размерности совпадают. Копроизводная категория квазикогерентных м.ф. эквивалентна гомотопической категории инъективных м.ф., последняя эквивалентна ко/абсолютной производной категории м.ф. конечной инъективной/локально свободной размерности, а та уже эквивалентна ко/абсолютной производной категории локально свободных м.ф. Осталось нарисовать коммутативную диаграмму, увязывающую все это воедино.
Вопросы: 1. В Two kinds of derived categories ... рассматривается еще "конечный-над-горенштейновым" случай; может быть, его стоит рассмотреть и здесь? Что можно сказать о схемах, конечных над горенштейновыми? В их число входят, в частности, артиновы схемы, конечные над спектром поля; ясно, что не все они горенштейновы, во всяком случае.
2. Нельзя ли доказать, что на горенштейновой схеме абсолютные производные категории локально свободных м.ф. конечного ранга и когерентных м.ф. совпадают?
P.S. К п.1: Вообще-то, есть лемма Нетера о нормализации: всякое аффинное многообразие над полем конечно над аффинным пространством. Но для наших целей нужно больше: схема должна быть не только конечной, но одновременно и плоской над горенштейновой. Какие многообразия таковыми являются?
P.P.S. Ага, доминантный конечный морфизм в регулярное многообразие из (неприводимого) коэн-маколеева многообразия является плоским --
http://mathoverflow.net/questions/20802/finite-morphisms-between-algebraic-varieties-are-flat (см. также Упр. III.10.9 из учебника Хартсхорна). Таким образом, я, может быть, научился использовать не только горенштейновость, но и коэн-маколеевость!
P.P.P.S. Но в этом конечном-над-горенштейновом случае эквивалентность между ко/абсолютной производной категорией локально свободных матричных факторизаций бесконечного ранга и копроизводной категорией квазикогерентных матричных факторизаций не будет задаваться естественным вложением! Это будет такая ковариантная двойственность Серра, подкрутка на дуализирующий пучок (!-подъем постоянного пучка с горенштейновой базы).