Полубесконечные гомологии Бореля-Мура Через без малого 12 лет, наконец, дошло, кажется. Вот же оно, определение полубесконечных гомологий (в отличие от когомологий) конечномерных ассоциативных алгебр в стиле нынешнего юзера roma (см. его препринт 2000 года в Архиве и нашу статью 2010 года в Compositio, где когомологии такие определяются).
Пусть A -- конечномерная ассоциативная алгебра, N -- подалгебра в A, над которой A -- проективный левый модуль и S = N*⊗
NA -- инъективный правый модуль, и пусть А# = S□
N*N -- соответствующая вторая алгебра.
Тогда:
- правые A-модули = правые S-полумодули;
- левые A-модули = левые S-полуконтрамодули;
- левые A#-модули = левые S-полумодули.
В частности, имеется эквивалентность точных категорий N-проективных конечномерных левых A-модулей и N-инъективных конечномерных левых A#-модулей.
Объявим теперь элементом группы Tor
A∞/2+i(R,L), где R -- конечный комплекс конечномерных правых A-модулей, а L -- конечный комплекс конечномерных левых A#-модулей, следующий набор данных (элемент проективного предела). Каждой паре морфизмов комплексов R → R' и L → L', где R' -- конечный комплекс N-инъективных правых A-модулей, а L' -- конечный комплекс N-инъективных левых A#-модулей, должен быть сопоставлен элемент группы Tor
Ai(R',Ψ(L')), где Ψ(L') = Ψ
A/N(L') = Hom
N(N*,L') есть (примененный к комплексам) функтор эквивалентности точных категорий, упомянутый выше, так что Ψ(L') -- конечный комплекс N-проективных конечномерных левых A-модулей.
Условия согласования относительно морфизмов комплексов N-инъективных модулей R' → R'' и L' → L'', коммутирующих с морфизмами из R и L, очевидны. Все морфизмы комплексов имеется в виду заменить на морфизмы в ограниченных производных категориях конечномерных модулей (в которых выделены полные триангулированные подкатегории комплексов N-инъективных модулей).
Ср. старый постинг "поиск точки приложения для одной топологической аналогии" --
http://posic.livejournal.com/486715.htmlP.S. А проблема неточности проективного предела не встает, поскольку в данном случае это должен быть направленный проективный предел конечномерных векторных пространств (который точен).