| 11:27p |
Дуализирующие комплексы для пар некоммутативных колец
Пусть R, S -- некоммутативные кольца. Будем называть комплекс S-R-бимодулей D дуализирующим комплексом для S и R, если
1. D -- конечный комплекс бимодулей, являющийся одновременно комплексом инъективных левых S-модулей и комплексом инъективных правых R-модулей (в смысле, становящийся таковым после забывания соответствующей второй структуры);
2. как комплекс левых S-модулей (после забывания R-структуры), D квазиизоморфен ограниченному сверху комплексу конечно порожденных проективных S-модулей; и аналогично, как комплекс правых R-модулей, D квазиизоморфен ограниченному сверху комплексу конечно порожденных проективных R-модулей;
3. отображения "гомотетии" S → HomRop(D,D) и R → HomS(D,D) являются квазиизоморфизмами.
Лемма 1: если D -- дуализирующий комплекс для колец S и R, кольцо S нетерово слева, и F -- плоский левый R-модуль, то естественный гомоморфизм конечных комплексов левых R-модулей F → HomS(D, D⊗RF) является квазиизоморфизмом.
Лемма 2: если D -- дуализирующий комплекс для колец S и R, кольцо R когерентно справа, и J -- инъективный левый S-модуль, то естественный гомоморфизм конечных комплексов левых S-модулей D ⊗R HomS(D,J) → J является квазиизоморфизмом.
Доказательство леммы 1: прежде всего, нам важно, что D⊗RF является комплексом инъективных левых S-модулей (поскольку кольцо S нетерово слева, и над нетеровым слева кольцом направленные прямые пределы сохраняют инъективность левых модулей).
Далее, свойство "быть квазиизоморфизмом" не зависит от R-модульных структур на комплексах (достаточно структур абелевых групп). Поэтому достаточно показать, что естественный гомоморфизм комплексов абелевых групп F → HomS(D', D⊗RF), индуцированный квазиизоморфизмом комплексов левых S-модулей D' → D из ограниченного сверху комплекса конечно порожденных проективных левых S-модулей D' в D, является квазиизоморфизмом.
Теперь комплекс HomS(D', D⊗RF) изоморфен HomS(D',D) ⊗R F, и осталось использовать условие плоскости левого S-модуля F вместе с условием, что отображение R → HomS(D,D) является квазиизоморфизмом.
Доказательство леммы 2: покажем прежде всего, что HomS(D,J) является комплексом плоских левых R-модулей. Это стандартный результат: если R -- когерентное справа кольцо, K -- S-R-бимодуль, являющийся инъективным левым S-модулем, и J -- инъективный левый S-модуль, то левый R-модуль HomS(K,J) плоский. В самом деле, достаточно показать, что функтор G → G ⊗R HomS(K,J) точен на абелевой категории конечно представимых правых R-модулей G; но для таких G имеется изоморфизм функторов G ⊗R HomS(K,J) = HomS(HomRop(G,K), J) (поскольку обе стороны точны справа и естественно изоморфны для конечно порожденных свободных G).
Пусть теперь D'' → D -- квазиизоморфизм комплексов правых R-модулей, бьющий в D из ограниченного сверху комплекса конечно порожденных проективных R-модулей D''. Достаточно показать, что гомоморфизм комплексов абелевых групп D'' ⊗R HomS(D,J) → J, индуцированный гомоморфизмом комплексов правых R-модулей D'' → D, является квазиизоморфизмом.
Но комплекс D'' ⊗R HomS(D,J) изоморфен HomS(HomRop(D'',D), J), так что остается использовать условие инъективности левого S-модуля J вместе с условием, что отображение S → HomRop(D,D) является квазиизоморфизмом.
Замечания: а) в вышеизложенном явно нет ничего нового; б) в некоторых предположениях, в литературе доказывается, что существование дуализирующего комплекса для S и R влечет конечность проективной размерности плоских левых R-модулей.
Литература: Iyengar, Krause "Acyclicity versus total acyclicity for complexes over Noetherian rings", Section 3.3
Christensen, Frankild, Holm "On Gorenstein projective, injective, and flat dimensions...", Section 1.3, Propositions 1.5 and A.1
Avramov, Foxby "Homological dimensions of unbounded complexes". |