Комплексы квазикогерентных пучков vs. комплексы пучков O-модулей с квазикогерентными когомологиями Продолжение постинга
http://posic.livejournal.com/886303.htmlКажется, я начинаю понимать детали вопроса, вынесенного в заголовок. Проблемы с производной категорией абелевой категории квазикогерентных пучков на произвольной схеме возникают в связи с производным функтором прямого образа (при квазикомпактных квазиотделимых морфизмах, непроизводный прямой образ при которых сохраняет квазикогерентность).
Это проблема отсутствия хорошего класса квазикогерентных пучков, приспособленных к прямому образу. Проявляется она, как минимум, в двух аспектах:
а) правый производный функтор прямого образа на производных категориях квазикогерентных пучков не согласован с композицией морфизмов схем (см. по ссылке выше);
б) правый производный функтор прямого образа не локален по базе морфизма.
Построить правый производный функтор прямого образа при квазикомпактном квазиотделимом морфизме на производных категориях квазикогерентных пучков можно с помощью инъективных резольвент, т.е. существование само по себе не проблема. Категория квазикогерентных пучков на любой схеме является абелевой категорией Гротендика (утверждение приписывается Габберу), так что инъективных объектов достаточно много.
Более того, достаточно много и гомотопически инъективных комплексов (общий факт для категорий Гротендика), так что можно определить правый производный прямой образ и на неограниченных комплексах квазикогерентных пучков. Проблема со свойствами этого производного функтора.
Проблемы а) и б) не встают для квазикомпактных полуотделимых схем, но встают для квазикомпактных квазиотделимых. В частности, проблема б) имеет место уже для морфизма из полуотделимой в квазиотделимую схему (обе квазикомпактные). Для аффинного морфизма, конечно, ситуация улучшается, но это не помогает при работе с квазиотделимыми схемами.
Известно доказательство эквивалентности (неограниченных) производной категории квазикогерентных пучков и производной категории комплексов пучков O-модулей с квазикогерентными когомологиями на квазикомпактной полуотделимой схеме, принадлежащее М.Б. и А.Н. Оно основано на редукции к случаю аффинной схемы с помощью рассмотрения покрытия. Типичный исходный факт, используемый в этом рассуждении -- это согласованность производных прямых образов при открытом вложении в той и другой теориях. Проблема с пунктом б) не позволяет доказать такую согласованность для открытого вложения отделимой квазикомпактной схемы в квазиотделимую квазикомпактную.
Такой факт, как компактная порожденность производной категории совершенными комплексами (вместе с обычной теорией локализации, и т.д.) доказан в работе Рукье для случая производных категорий комплексов пучков O-модулей с квазикогерентными когомологиями на квазикомпактной квазиотделимой схеме. Если схема не полуотделима, для производной категории квазикогерентных пучков ничего такого утверждать, видимо, нельзя (перенести рассуждение по аналогии из одной теории в другую нельзя тоже в силу нарушения пункта б).
Исключение составляет случай нетеровых схем. По ссылке выше объяснено, как доказывать утверждение типа а) для квазикомпактного морфизма локально нетеровых схем; поскольку вялость пучка -- локальное свойство, так же доказывается и б). В силу последнего, доказательство эквивалентности двух производных категорий проходит для произвольных нетеровых схем, как и прямое доказательство компактной порожденности.
Литература: M. Boekstedt, A. Neeman. Homotopy limits in triangulated categories. Compositio Math. 86, 1993. Sections 5-6
R. Rouquier. Dimensions of triangulated categories. Journ. of K-theory 1, 2008. Section 6.2
D. Murfet,
http://therisingsea.org/notes/DerivedCategoriesOfQuasicoherentSheaves.pdf . Section 5
P.S. Кстати, этот сюжет с производной категорией квазикогерентных пучков -- хорошая иллюстрация на тему "зависимость истории математики от пристрастий действующих лиц". Скажем, А.Н. почему-то всегда считал, что отделимость -- естественное условие на схему (неотделимые патологичны), а нетеровость -- неестественное и нерелевантное. Поэтому у него всегда все делается "в максимальной общности", состоящей в том, чтобы схема была квазикомпактна и отделима. В результате, плоскость с двойной точкой -- простой и естественный геометрический объект, может быть, в большей степени, чем какая-то ненетерова схема -- в значительной части литературы совершенно проигнорирована. Включая сюда и первую (т.е., текущую) архивную версию моего контрагерентного текста.