| 4:23p |
Контрамодули над некоммутативными нетеровыми кольцами - 2
Пусть R -- нетерово справа ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть Rm^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо.
Теорема 1. 1) Левый Rm^-контрамодуль P является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда все R/mn-модули P/mnP плоские. Кроме того, в этих условиях естественное отображение P → limn P/mnP является изоморфизмом.
2) В частности, свободные левые Rm^-контрамодули являются плоскими R-модулями.
3) Для любого плоского R-модуля F, такого что R/m-модуль F/mF проективен, и любого Rm^-контрамодуля Q, группы ExtR>0(F,Q), посчитанные в категории R-модулей, зануляются.
4) В частности, забывающий функтор Rm^-contra → R-mod индуцирует изоморфизмы на всех группах Ext.
5) Кроме того, левый Rm^-контрамодуль F проективен тогда и только тогда, когда он R-плоский и R/m-модуль F/mF проективен.
Утверждение 3) не зависит ни от каких предположений нетеровости. Правая нетеровость кольца R используется в доказательстве пункта 1) (от которого зависят 2) и 4)-5)).
Теорема 2. Предположим, что все плоские левые R/m-модули имеют конечную проективную размерность. Тогда контрапроизводная категория левых Rm^-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории R-плоских левых Rm^-контрамодулей и гомотопической категории комплексов свободных левых Rm^-контрамодулей.
Доказательство: очевидно, в наших предположениях класс плоских левых R-модулей (и следовательно, R-плоских левых Rm^-контрамодулей) замкнут относительно бесконечных произведений, так что остается показать, что всяких R-плоский левый Rm^-контрамодуль имеет конечную проективную размерность в Rm^-contra. Последнее следует из пункта 5) теоремы 1. |
| 6:59p |
Полубесконечная геометрия пучков кручения и копучков контрамодулей?
Будем предполагать для простоты все схемы полуотделимыми, что ли.
Пусть X -- нетерова формальная схема, Y → X -- квазикомпактная плоская схема над X. Это значит, что для любой замкнутой (не формальной) подсхемы Z ⊂ X задана квазикомпактная схема YZ, плоская над Z, так что вложениям замкнутых подсхем Z' → Z'' внутри X соответствуют декартовы квадраты схем YZ' → YZ'', Z' → Z''.
В этой ситуации хотелось бы построить эквивалентность полупроизводных категорий квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей над Y относительно X. Случай "отдельно взятого верхнего этажа" (скажем, когда X -- гладкая нетерова схема, не формальная) разобран в главе 4 контрагерентного препринта. Случай "отдельно взятого нижнего этажа" пока что не прописан еще, конечно, но давно предполагается к прописыванию.
P.S. Вообще, что такое "полубесконечное" (или, лучше сказать, бесконечномерное в две стороны) многообразие? Обычно говорят про инд-схемы не обязательно инд-конечного типа, т.е., грубо говоря, инд-про-схемы инд-про-конечного типа.
Мне всегда думалось, что, если иметь в виду использовать конструкцию полупроизводной категории, то более естественно было бы рассматривать объект, устроенный наоборот -- что-то вроде про-инд-схемы про-инд-конечного типа. Такое многообразие расслаивалось бы над инд-схемой инд-конечного типа (или, как в примере выше, над нетеровой формальной схемой), и можно было бы говорить, скажем, о локализации гомотопической категории квазикогерентных пучков кручения на тотальном пространстве, скажем, по полной подкатегории комплексов, прямые образы которых на базовую инд-схему коацикличны на ней.
Буквально такие слова подразумевают, конечно, что морфизм не только плоский, но и аффинный, но, может быть, это можно как-то обойти. Например, требовать коацикличности прямого образа ограничения на любую относительно аффинную открытую подсхему (это имеет какой-нибудь смысл, интересно?) В общем, не знаю пока что. |