posic's Journal

Еще о редукции точных категорий - 3
В предыдущий постинг http://posic.livejournal.com/995400.html вкралась одна ошибка: функтора редукции G_στ → G_τ не существует в рассматриваемой там общности. Есть только функторы редукции F → G_στ и F → G_σ. Поверить в это почти невозможно (что значит, объект категории, профакторизованной по στ, нельзя редуцировать дальше до объекта категории, профакторизованной по σ?), но проблема в том, что объекты редуцированных категорий суть некие матричные факторизации, и нет хорошего способа построить по матричной факторизации естественного преобразования στ матричную факторизацию естественного преобразования σ.

Поэтому конструкция "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна оказывается более симметричной, чем это описано в постинге по ссылке. Вторая стрелка Ext_{G_στ}ⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_{G_σ}ⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) строится примерно так же, как и первая стрелка Ext_{G_τ}ⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_{G_στ}ⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)).

Пусть имеется морфизм g_στ(X) → g_στ(Y) в категории G_στ. Тогда найдутся допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F, ~~образующие коммутативный квадрат в категории F,~~ образы которых при функторе g_στ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории G_στ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.

Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на στ, и следовательно, также и на σ. Поэтому коммутативный образ нашего ~~коммутативного~~ квадрата при функторе g_σ можно (единственным образом) дополнить стрелкой g_σ(X) → g_σ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено, и дальше рассуждение продолжается так же, как в постинге по ссылке.