posic's Journal

Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 6
Как сейчас представляется, работать с точной категорией F_k в общем случае неудобно, что проявляется, например, в невозможности просто показать, что функтор F_k → F_k⁺ индуцирует изоморфизмы групп Ext. Категории F_k/l^r вполне хороши, но их следует заменить на их "большие" версии F_k/l^r⁺ прежде, чем пытаться получать их на выходе конструкции редукции.

Все рассуждения из предпредыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html должны применяться к "большим" категориям F_k⁺, F_k⁺/l^r, F_k/l^r⁺ (с плюсами в верхних индексах), а не к "малым" аналогичным категориям (без плюсов). При этом основная гипотеза для категории F_k/l^r⁺ эквивалентна основной гипотезе для категории F_k/l^r, что должно быть нетрудно показать с помощью следующей леммы.

Лемма. 1) Любой объект F_k/l^r⁺ является направленным прямым пределом диаграммы объектов из F_k/l^r и допустимых мономорфизмов между ними. В частности, через любой допустимый эпиморфизм в F_k/l^r⁺ на объект из F_k/l^r можно пропустить допустимый эпиморфизм в F_k/l^r, так что функтор F_k/l^r → F_k/l^r⁺ индуцирует изоморфизмы всех групп Ext.

2) Теми же свойствами обладает вложение точной категории k/l^r-конечно порожденных k/l^r-свободных дискретных Γ-модулей над k/l^r (которую, может быть, лучше было бы обозначать через A_k/l^r, как это когда-то предполагалось -- http://posic.livejournal.com/1000074.html ) в точную категорию всех k/l^r-свободных дискретных Γ-модулей над k/l^r (которую мы обозначали через A_k/l^r, но лучше, может быть, было бы обозначать через A_k/l^r⁺).

3) В обозначениях предыдущего пункта, функторы Ext в категориях F_k/l^r⁺ и A_k/l^r⁺ переводят бесконечные прямые суммы по первому аргументу в бесконечные произведения.

4) В тех же обозначениях, функторы Ext из объектов подкатегорий F_k/l^r и A_k/l^r в категориях F_k/l^r⁺ и A_k/l^r⁺ переводят бесконечные прямые суммы по второму аргументу в бесконечные прямые суммы.

Трудность с доказательством утверждений 1-2 (и основанного на них 4) для коэффициентов k видится в том, что косвободные k-комодули конечного ранга не являются конечно-порожденными k-модулями, а в категории свободных k-контрамодулей бесконечные прямые суммы не коммутируют с забывающим функтором в абелевы группы, в связи с чем обычный аргумент типа "комодуль над коассоциативной коалгеброй над полем является объединением своих конечномерных подкомодулей" не проходит. Для коэффициентов k/l^r этих проблем нет, и аргумент, как представляется, должен проходить.

Теперь рассуждения, подобные рассуждениям из предыдущего постинга, только протекающие целиком в рамках категорий "с плюсами", должны позволить доказать, в предположении индукции по m и основной гипотезы для точной категории F_k/l⁺, инъективность отображений Ext_{F_k⁺/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r⁺}²(X/l^r,Y/l^r).

Update: В пункте 2) все же "теми же свойствами обладает" надо понимать приблизительно -- скажем, не в части первой, но в части второй фразы пункта 1). Возможность пропустить допустимый эпиморфизм можно показать, например, пользуясь существованием проективных объектов в категории модулей над конечной группой (и тем, что во всяком объекте из A_k/l^r группа Γ действует через свою конечную факторгруппу). Или можно сравнить обе категории с соответствующими категориями произвольных (не обязательно k/l^r-(ко)свободных) Γ-модулей над k/l^r.

Собственно, пункт 2) нужен только для того, чтобы выводить из него соответствующее утверждение в пункте 4), которое можно доказать и прямо -- скажем, воспользовавшись тем, что в A_k/l^r⁺ достаточно инъективных объектов и их класс замкнут относительно бесконечных прямых сумм.

С другой стороны, в пункте 1) как таковом (совершенно ключевое во всем этом построении) первое утверждение нужно проверить руками -- типа, индукцией по числу нетривиальных компонент присоединенного фактора по фильтрации и т.п.