qwerty: Задачка для школьного возраста

(Добавить комментарий)

	do_ 2014-02-04 06:29 (ссылка)
	2, 4, больше нет (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	qwerty 2014-02-04 06:30 (ссылка)
	Интересно доказательство :) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

do_
2014-02-04 07:14 (ссылка)

разложим a и b на простые сомножители
для каждого из сомножителей получим
p₁^nb = p₁^ma
n/m = a/b
такая пропорция выполняется для всех простых сомножителей
это значит, что a и b -- разные степени одного и того же числа,
обозначим его p
a= p^x, b = p^y

xp^y = yp^x
x/y = p^{x - y}
пусть z=x-y
1 + z/y = p^z
если 1 + z/y < p^z
при z = 1 для фиксированного y, то при всех
остальных z это неравенство тем более выполняется,
так как показательная функция растёт быстрее линейной

но 1 + z/y <= 2 для z = 1, y > >= 0

следовательно, одно решение z=1, y=1, p=2
что соответствует a=2, b=4

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	ded_mitya 2014-02-04 07:24 (ссылка)
	опередил, но я по-другому решал (Ответить) (Уровень выше)

	qwerty 2014-02-04 07:52 (ссылка)
	Да, я тоже так решал. (Ответить) (Уровень выше)

ded_mitya
2014-02-04 07:21 (ссылка)

a^b=b^a
log_a(a^b)=log_a(b^a)
b=a*log_a(b)

поскольку а, b натуральные, то b может быть
представлено как b=a^k, причем k - целое.
Откуда:

a*k = a^k

k=a^(k-1).

Степенная и линейная функции пересекаются не более чем в двух точках, причем одна из них k=1,
соответствует решению a=b=1, которое не
удовлетворяет условиям задачи, следовательно
нетривиальное решение единствено.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	qwerty 2014-02-04 07:30 (ссылка)
	поскольку а, b натуральные, то b может быть представлено как b=a^k, причем k - целое. ? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	ded_mitya 2014-02-04 07:42 (ссылка)
	Да, я осел. Зачеркиваем, но на доказательство единственности, кстати, не влияет. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	qwerty 2014-02-04 07:50 (ссылка)
	Вещественных решений при этом бесконечно много. (Ответить) (Уровень выше)