Не в шляпе тут дело
Впервые Тютчев опробовал силы в жанре стихотворной телеграммы в 1861 году. Текст, обращенный к мужу сестры и к брату и приуроченный к их именинам, гласил:
"Обоим Николаям
Мы всех возможных благ желаем
И от души их поздравляем".
Прямо скажем, не шедевр.
Две телеграммы 1865 года - попытка всерьез поработать с жанром.

В первом варианте 44 слова, 205 символов. Во втором варианте 27 слов и 132 символа. Интересно, какие ограничения тогда были?
Обращает на себя внимание смена стихотворного размера. Четырехстопный хорей (ААбАб ВгВВг),уже опробованный в связи с телеграфной темой, сменяется вольным ямбом (55554; абааб). Стиховая форма здесь небезразлична. Хорей у Тютчева связан, в частности, с темой быстрого движения, пятистопный ямб со сплошными мужскими клаузулами встречается позднее - в двух медитациях на тему Vanitas ("От жизни той, что бушевала здесь" и "Брат, столько лет сопутствовавший мне").

Первый текст начинается с полуиронических самоуподоблений (евангельского и гомеровского), которые подготавливают мифологизацию Телеграфа (ему посвящены два стиха из 10). Движение поэтического сюжета здесь таково "Описание беспомощного героя - волшебное перенесение слова - описание волшебного локуса, связанного с адресатом". Отсутствуют собственно "именинный" ритуальный компонент (пожелания), зато текст вписывается в парадигму других тютчевских стихотворений о "волшебном перемещении в пространстве/времени" ("Глядел я, стоя над Невой" - в оптативе, "Вновь твои я вижу очи", "Я встретил вас, и все былое" - в ирреальном наклонении). Петергоф описан как рай (ср. соединение фонтанов и зелени внутри замкнутого пространства [здесь - "угол"] в ст. "Пошли, Господь, свою отраду").
Во втором тексте сохранены главные темы зачина первого ("привет хромоногой"/"полубольной стих", телеграф как волшебный помощник), но сюжет разрушен - на другом конце провода уже не идеальное пространство, в котором, надо полагать, обитают блаженные, к лику которых Вяземский тем самым причисляется, но сам старый князь, нуждающийся в божественной защите от неприятностей и бессонницы (которой Вяземский действительно страдал и которую сделал фактом медико-поэтическим, впервые снизив эту тему до физиологии).
Телеграф - герой обеих телеграмм, но в неотправленной он наделен волшебными свойствами: окрыляет хромоногий привет, да еще и мчит его "играя" (слово исключительно важное у Тютчева, означающее божественную игру). В отправленной же он заменяет подагрические ноги и просто "несет" стих. То есть, в первой он, скорее, Гермес, а во второй - всего лишь Меркурий (имеются в виду не разные амплуа, а разные коннотации этих имен в рус. языке).

Таким образом, телеграфный язык требует отказаться от развития собственного сюжета и обратиться к шаблонным формам поздравления (не исключаю, что сказалась и обида чуткого поэта на технику).
Впоследствии в стихотворных телеграммах Тютчев к теме телеграфа обращаться не будет. А лучшая из них, конечно, отправлена 14 сентября 1870 г. из Москвы и адресована в Брянск Эрнестине Федоровне:
Доехал исправно, усталый и целый,
Сегодня прощаюсь со шляпою белой,
Но с вами расставшись... не в шляпе тут дело...
Тут уже налицо освоение жанра собственно телеграфного, не имеющего корней в предшествующей поэтической традиции.