renuar911's Journal

Глава 24. Мы с Андрюшей ищем интересную трапецию
.
Георгий Александров
.
Неделю назад Андрюша вернулся из первой своей заграничной поездки: он провел новогодние праздники на Украине. Я, естественно, очень по внуку соскучился, а когда приехал ко мне на дачу с родителями, то был безумно рад. Бабушка его, то есть моя жена Ирина, несколько дней вязала для него чудесный свитер из шерсти, купленной в Аргентине. Обновка оказалась точь-в-точь по размеру моего славного мальчика. Я его спросил:
-Ну как отдохнул, Андрюшенька?
- Да хорошо, дедуля. Мама поскользнулась, ушибла ногу, папа не упал.
- А ты?
- Я - как огурчик! Разве могу падать? Да у меня реакция знаешь какая? Вот только вел я себя плохо. Мама меня даже на полгода наказала.
- Что же это за наказание?
- Да полгода мне нельзя будет подходить к компьютеру, к интернету...
- Ух как тебя! Ладно, не буду спрашивать за какие твои проделки. Скажу по секрету: я тоже в детстве очень плохо себя вел. Но как-то выправился, сам себя заставил быть хорошим. Это трудно, но возможно.
- Я тоже себя выправлю. Подумаешь! Чего тут сложного? А я вот соскучился по глобусу, что мне ты и бабушка подарили и соскучился по числам, треугольникам и трапециям.
- О, как раз вчера только мой хороший виртуальный коллега по форуму с ником andrei предложил участникам решить геометрическую задачу, связанную с трапецией. Сейчас давай попьем чайку с пирожками, а потом я тебе расскажу. Если это дело потянем, то будет у нас еще одна глава книги.
- Ой, как хорошо! А то разве от мамы с папой можно дождаться интересных задач? Они только:"это нельзя!" , "туда не ходи!"...
- Да успокойся ты, милый мой! Я ж тебя понимаю. Сам так ворчал на твоего папу, когда ему пять лет было...
- Ну, дедуля, чай попили, теперь пора и за дело. А ты мне разрешишь к компу подходить?
- Конечно разрешу. Мама же нас не увидит. Я запру входную дверь на шпингалет.
- Деда, а что за задача? Ее можно почитать?
- Да, вот она:

- Дедуля. Вот читаю ее, все слова понимаю, а представить, что это такое, объединить, - никак не получается. Почему так?
- Наверное рассеянное внимание у тебя или опыта не хватает.
- Да-да, опыта не хватает. Сына ошибок трудных.
- Откуда ты эту фразу знаешь?
- Смотрел по каналу "Ностальгия" передачу "Очевидное-невероятное". В ней в самом начале стих читают: "О, сколько нам ошибок трудных...".
- Точно! Я лет 30 назад эту передачу с удовольствием смотрел. Капица ее вел.
- Да бог с ней, передачей. Объясни лучше нашу задачу. Ну, чтобы я четко увидел: что, откуда и почему.
- Ладно, тогда так. Я сделаю рисунок и мы с тобой начнем шевелить мозгами.
- А разве мозги не твердые?
- Ой, Андрюша. Давай лучше не будем в анатомию сползать. Я так далек от этого... Вот смотри: вся задача - как на ладони.

Видишь, нам задана большая окружность радиусом R . Ее красный диаметр - это нижнее основание равнобочной трапеции. Помнишь, в одной из глав мы выяснили, что все вписанные в окружность трапеции равнобочные?
- Это у которых бока одинаковые?
- Не бока, а боковые стороны. Равны также острые углы, равны тупые углы. Но продолжим. По условию задачи равнобочная трапеция должна быть такой хитрой, чтобы вписанная в нее малая окружность радиусом r касалась всех четырех сторон. Я на глазок постарался это сделать, более-менее плучилось.
- А что найти-то надо?
- В задаче говорится - только острый угол альфа. Видишь нижний правый уголок?
- Вижу, вижу. Еще что нужно?
- Да вообще-то лучше всего найти все. Все стороны, все углы и, главное, - радиус r .
- Как же его найти? И он один или их несколько?
- Я, Андрюшенька, вижу, что он один и зависит только от заданного радиуса R .
- Очень запутанная задача! Откуда она взялась?
- Коллега с форума andrei мне лично сообщил, что она опубликована в журнале "Квант" №2 2007 года стр.5 задача 16.Посмотреть можно здесь http://kvant.mccme.ru/ . Там же и решение есть.
- Так давай посмотрим и не будем голову ломать!
- Ну! Это неинтересно! А вдруг мы решим задачу гораздо лучше? Интересно же сравнить потом.
- Деда, я правильно понял, что высота трапеции равна диаметру вписанной окружности?
- Да, это очевидно из рисунка.
- Но как заставить эту окружность коснуться боковых сторон?
- Так, Андрюшенька, - это и есть цель данной задачи: найти такую r , чтобы она и до боковинок достала. Я только что, кажется догадался. Вот смотри - я черчу только правую симметричную часть трапеции.

Видишь, что творится? Есть особая точка A на вертикальном диаметре большой окружности.
- Так..., есть такое дело. И что в этой точке особенного?
- А вот что: если мы опустим из этой точки перпендикуляр на боковую сторону трапеции, то длина этого перпендикуляра обязательно должна быть равна r .
- Ну, да. Все верно. Только тогда малая окружность коснется боковых сторон. Как тогда найти эту точку A ?
- Интересно вот что: желтый и голубой треугльнички во-первых, прямоугольные и, во-вторых равны друг другу... Впрочем, дорогой Андрюшенька, можно, конечно, окунуться в океан классической древнегреческой геометрии, рассматривать всякие подобия, теремы Пифагора и так далее. Давай пойдем с тобой современным путем.
- Какой же этот современный путь?
- Этот путь - аналитическая геометрия. Не буду тебя утомлять рассказами, что это такое, а прямо скажу, что нам делать. Видишь боковую сторону? Раз она есть отрезок прямой, то можно найти и уравнение всей прямой в координатах нашего последнего рисунка. Если мы такое уравнение найдем, то задача сведется к нахождению расстояния от точки A до этой прямой. Такая задача в общем виде давно решена и имеется во всех справочниках.
- Давай, дедуля. Но совершенно не знаю, как это сделать. Если бы ты все сказанное объяснил через икс и игрек, то было бы проще...
- Хорошая идея! Давай тогда такой рисуной и сделаем.

Я тут изобразил математическую модель задачи в декартовых координатах. Для удобства все координатные параметры записал красным цветом, размеры - синим цветом, а буквенные обозначения точек - черным цветом. Под графиком выделил точки C и D через которые ты сейчас, Андрюшенька, проведешь аналитическую прямую линию. Ну-ка!
- Погоди, а почему это высота тапеции стала равной корню квадратному из эр квадрат минус эль квадрат?
- Это же свойство кривой окружности! Неужели ты не помнишь общее уравнение?
- Ах, да! Мы уже об этом столько говорили, столько строили! Ладно, сейчас опять составлю систему и дам формулу для боковой стороны трапеции...
Ой, деда, намучился же я! Сначала запутался, потом более тщательно повторил и в результате получил проверенную зависимость:

- Так, так. Если подставим это, то получим... все правильно. Если подставим эр большое, то получим ноль. Все правильно! Теперь я тебе расскажу, как найти расстояние от точки A до твоей прямой. Для этого твое уравнение нужно представить в виде:

a x + b y + c = 0

Тогда расстояние d будет равно:

-Я все понял, деда. Сейчас преобразую уравнение прямой, как ты просишь. Вот такое выражение:

- Отлично, внучек! Осталось только дать окончательное уравнение, из которого мы должны, наконец, получить значение L .
- Сейчас сделаю. Тут нужно не ошибиться... Вот так:

- Очень хорошо! Остался последний рывок. Войди в Maple и реши это уравнение относительно L .
- Элементарно, деда! Тут я уж в своей стихии! Можешь даже не проверять - сам справлюсь. Текст такой:

solve(abs(((R-L)*(1/2))*sqrt(R^2-L^2)-sqrt(R^2-L^2)*R)/sqrt(R^2-L^2+(R-L)^2) = (1/2)*sqrt(R^2-L^2), L);

Ой, получили два решения:

- Ну, первое, отрицательное нас не интересует. А вот второй корень - это то, что нужно! Молодчина, Андрюшенька! Я тебя поздравляю с выходом на финишную прямую. Теперь осталась самая малость - выявить все габариты трапеции в функции от R .
- Деда! Дай я сам! Все начерчу и размеры проставлю...
Вот, полюбуйся:

- Ух как ты перевыполнил план! Теперь уж можем с тобой найти значение острого угла. Давай его выразим через косинус альфа:

- Деда! Ну и что тут интересного?
- А вот ты набей эту дробь в Вольфраме Альфа, тогда увидишь.
- Набил. Ничего особенного.
- А чему равна десятичная дробь?
- Деда, длинная такая: 0.6180339... Ой! Да это связано с "золотым сечением", да?
- Похоже что так. Да и видишь - Вольфрам показывает альтернативное значение:

- Точно, дедуля! Ну надо же как интересно! Вот ведь бывают совпадения в математике! А как же вычислить сам угол?
- Андрей! Ну это же детский вопрос! Найди арккосинус и вырази в градусах.
- Ну конечно! Сейчас... Вот... Угол альфа Maple определит по командам

evalf(180*arccos((sqrt(5)-1)*(1/2))/Pi);

то есть получили примерно 51.8 градусов.
- Вот мы и решили задачу. Будем заглядывать в "Квант"?
- Давай! Вдруг наврали? Заходим в "Квант", там на странице пять задача 16, так, она самая. Продолжение на стр. 13. Ой, тут вычисляется синус альфа. Ну, опять вычисляем:

evalf(180*arcsin(sqrt((sqrt(5)-1)*(1/2)))/Pi);

Все о'кей, дедуля! Те же пятьдесят один и восемь десятых градуса! Верно мы с тобой решили! Ураааа!

Москва
14 января 2013 г.

Current Mood: grateful