renuar911's Journal

Глава 32. Треугольник Пифагора и Трапеция Александрова
- Деда, ты мне давно когда-то говорил о треугольнике Пифагора. Что это за треугольники? Я забыл.
- Ну, как же? Мы с тобой писали три формулы для нахождения всех примитивных пифагоровых чисел. Эти числа и являются сторонами прямоугольных треугольников. Самый простой из них знали еще Древние Египтяне. Его стороны соотносятся между собой, как 3,4,5.
- Вот-вот! Я как раз про него и имею в виду. Ты мог бы его вырезать на бумаге, даже в четырех экземплярах?
- А что так много, Андрюшенька? И совсем одинаковые, что ли?
- Есть одна мысль у меня. Конечно же, - нужна абсолютная одинаковость всех четырех!
- Ха! Минутное дело! Сейчас быстро начерчу при помощи циркуля и линейки сразу четыре контура этого шедевра геометрии и вырежу... Вот, держи. А я посмотрю, что ты делать будешь, хорошо?
- Нет, деда! Ты иди погуляй, а мне нужно поколдовать.
- Колдуй, колдуй на здоровье. Только не взлети в Альфа-Центавра...
- Деда! Беги скорее сюда! Посмотри, что я придумал!
- Интересно, и что это ты смог придумать?
- А вот взгляни на рисунок. Видишь, как на левом рисунке я расположил Треугольники Пифагора, то есть ТП?

- Замечательно расположил! Я тебя поздравляю. Только ты использовал три треугольника, а не четыре.
- Да, ты не понял! Я расположил их так, что общий контур оказался контуром прямоугольной трапеции. Или Трапеции Андрея, то есть ТА. Видишь на рисунке справа?
- Ах вот оно что? Теперь начинаю вникать. Ты, значит, нашел трапецию, у которой стороны - суть знаменитые числа Эйлера. Из задачи о четырех кубах, которую мы подробно исследовали в начале книги. Ведь в самом деле:

ТП: 3² + 4² = 5²

ТА: 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Только давай лучше назовем твое открытие Трапецией Александрова. Аббревиатура не изменилась, зато правильно писать фамилию автора, а не имя. Так принято в науке. Ведь Пифагор - это скорее фамилия величайшего математика.
- Хорошо! Пусть будет Трапеция Александрова. Ну, как тебе мое исследование?
- Я, честно говоря, восхищен! А точнее, у меня нет слов. Вот только одно мне непонятно: это единственный такой случай связи пифагоровых троек и четверок Эйлера, или же закономерность? Думаю, Андрюшенька, лучше так поступить. Нужно найти как можно больше четверок Эйлера и выяснить - много ли среди них троек Пифагора?
- А как мы найдем четверки Эйлера?
- Проще составить программу в Maple. Скажем, такую:

s := 0: for x to 200 do for y from x+1 to 201 do for z from y+1 to 202 do for w from z+1 to 203 do if `and`(x^3+y^3+z^3 = w^3, igcd(x, y, z, w) = 1) then s := s+1: print(s, x, y, z, w); end if end do end do end do end do

Должно получиться немало решений. Я задал только положительные числа, ибо мы будем строить реальные отрезки. Вот мы и получили нужные варианты! Почти сотня, посмотри:

- Деда, а как будем проверять?
- Напишем программу в Yabasic:

open #1,"t0a.txt","r"
open #2,"t0b.txt","w"
dim x(100),y(100),z(100),w(100)
for i=1 to 98
input #1 k,x,y,z,w
x(i)=x:y(i)=y:z(i)=z:w(i)=w
next i
print:print
for i=1 to 98
print i,x(i),y(i),z(i),w(i);
print sqrt(x(i)^2+y(i)^2),sqrt(x(i)^2+z(i)^2),sqrt(y(i)^2+z(i)^2);
print sqrt(x(i)^2+w(i)^2),sqrt(y(i)^2+w(i)^2),sqrt(z(i)^2+w(i)^2)
next i

Она нам поможет найти целочисленные пифагоровы тройки. Так... Вот они, результаты по всем 98-и вариантам. Всего найдено семь решений:

1) 1, 6 , 8 , 9 (гипотенуза 10 )
2) 3 , 4 , 5 , 6 (гипотенуза 5 )
3) 18 , 19 , 21 , 28 (гипотенуза 35 )
4) 34 , 39 , 65 , 72 (гипотенуза 97 )
5) 22 , 75 , 140 , 147 (гипотенуза 203 )
6) 29 , 75 , 96 , 110 (гипотенуза 146 )
7) 65 , 87 , 142 , 156 (гипотенуза 169 )

Выделенным шрифтом я показал пифагоровы тройки. Увы, внучек, среди этих четырехугольников трапеций нет. Ты нашел единственную и неповторимую. Теперь смотрим: к сожалению, даже Четырехугольники Александрова ( ЧА ) для вариантов 4), 5) и 6) построить не удастся, так как слишком малы числа, не выделенные жирным шрифтом. Вариант 2), Андрюшенька, ты успешно построил. Теперь осталось начертить варианты 1), 3) и 7). Начнем с двух последних. Они мне показались более сложными. Итак, вариант 3):

Вариант 7):

Вот с вариантом 1) очень интересно!
- Деда, чем же он интересен?
- Вот смотри эскиз: получается вырожденный четырехугольник, то есть треугольник. Причем полное совпадение ТП и ЧА:

Постой, Андрюш! Мы находили гипотенузы треугольников Пифагора, а можно искать и катеты. Достаточно чуть подправить программу:

open #1,"t0a.txt","r"
dim x(100),y(100),z(100),w(100)
for i=1 to 98
input #1 k,x,y,z,w
x(i)=x:y(i)=y:z(i)=z:w(i)=w
next i
for i=1 to 98
print i,x(i),y(i),z(i),w(i);
print sqrt(y(i)^2-x(i)^2),sqrt(z(i)^2-x(i)^2),sqrt(z(i)^2-y(i)^2);
print sqrt(w(i)^2-x(i)^2),sqrt(w(i)^2-y(i)^2),sqrt(w(i)^2-z(i)^2)
next i

Так, так... Нашли еще четыре решения. Я их показываю на одном рисунке:

- Ну, деда, ты даешь! Не эскизы, а какие-то чудеса математики!
- Так это тебе геометрия спасибо должна сказать. Ведь ты обнаружил особый вид четырехугольников, о которых еще никто и никогда не знал! Правда, если не привязывать их к треугольникам Пифагора, то вариантов будет столько же, сколько четверок Эйлера. Даже более того: число вариантов бесконечно, ибо четырехугольник - фигура подвижная. Она есть самый настоящий механизм. Но, конечно же, твоя, Андрюшенька, прямоугольная трапеция - это действительно шедевр! Никакими моими четырехугольниками непревзойденный.
- Вот и ладненько. Шедевр, так шедевр. Я и на это согласен.

г. Москва
11 июля 2013 г.