renuar911's Journal

Глава 34. Синусы и косинусы кратных углов
- Деда! Я в Википедии увидел формулы для синуса и косинуса двойных и тройных углов. Вот, записал даже на листочке:

Но скажи - почему нет для четверных, пятерных и так далее углов?
- В Википедии нет, зато в справочнике Прудникова есть кажется до шести альфа.
- Тогда что делать, если получим, например, десять альфа?
- Как что? Нужно взять и самим вывести. Зачем ждать милостей от литературы?
- Разве можно самим вывести?
- Андрюшенька! Если захотеть, то все можно. А что, может действительно, попробуем? Делать же нечего: на улице гроза, дождь, в теннис не сыграешь.
- Мне бы, деда, хотелось, чтобы синус десять альфа был представлен только через синусы просто альфа, а косинус десяти альфа - только через косинус просто альфа.
- Ну и желание у тебя! Хорошо, давай попробуем. Но чтобы голову не ломать, составим программу в Maple, с помощью которой мы будем находить синусы и косинусы любых кратных углов. Я минуточку подумаю, хорошо?
- Хорошо, дедуля! Я буду наблюдать за твоими действиями. За твоим творческим процессом...
- Я вместо альфа пишу икс, а вместо sin(x) сокращенно будет s и вместо cos(x) сокращенно будет c. Не возражаешь? Итак, вот две небольшие программки:

для синуса

n := 10: a := expand(sin(n*x)): algsubs(cos(x)^2 = 1-s^2, algsubs(sin(x) = s, a)): sort(%);

и для косинуса:

n := 10: a := expand(cos(n*x)): algsubs(sin(x)^2 = 1-c^2, algsubs(cos(x) = c, a)): sort(%);

- Спасибо, дедуля! Я теперь один справлюсь, найду много решений, потом тебя позову.
- Удачи, дорогой! Крикни мне, я буду на кухне пазлы собирать. Натюрморт итальянский, что твоя мама купила...

- Деда! Иди сюда! Я две таблички состряпал!
- Бегу, бегу...
- Вот, деда, полюбуйся. Все сделал, как я и хотел:

- Ух, какой богатый материал для размышлений! Мне нужно некоторое время, чтобы переварить сиё творчество... Вот что. Вторая серия, ну где косинус через косинусы, очень хорошо знакома. Это многочлены Чебышева первого рода. Однако, первая серия... Что-то в ней не то. Аааа! Понял! Андрюша, дорогой, нужно и синус выражать через косинус! Сможешь программку откорректировать?
- Естественно, смогу! Ты еще сомневаешься?
- Какие сомнения? Я тебе, внучек, доверяю больше, чем самому себе.
- Ладно, деда. Иди на кухню еще разик. Я позову...
Сначала проверь программку:

n := 10: a := expand(sin(n*x)): algsubs(sin(x)^2 = 1-c^2, algsubs(cos(x) = c, a)): sort(%);

- Программа верна. Теперь результаты.
- Результаты немного другие:

- Ура, Андрюша! Теперь норма. В круглых скобках у нас многочлены Чебышева второго рода.
- Деда, откуда ты знаешь этого, как его, - Чебышева?
- Нууу, Чебышев - это великий наш математик. А его многочлены знаю, поскольку часто их приходилось применять в практике.
- Скажи, деда, в нашей славной Википедии эти многочлены есть?
- Давай посмотрим и выясним. Итак, входим, пишем "Многочлены Чебышева", смотрим... Вот, полюбуйся:

- Ба! Деда, да это одно и то же! Ну, надо же... Вот еще что. Понимаешь, как строить треугольник Паскаля, ты меня научил. А как эти треугольники Чебышева построить?
- Я уже забыл. Но попробуй сам уловить закономерность. Это очень интересная задача. Если справишься, то подарю тебе кубок, который неделю назад смастерил. Специально для тебя, интернетного любителя-автогонщика.
- Ой, как интересно! Хоть тресну, но раскушу!...
Деда! Скорее давай сюда!
- Что, внучек? По зубам оказался орешек?
- А вот смотри. Начало такое. Такой своеобразный клин. А справа показал принцип заполнения ячеек:

В результате получим коэффициенты Чебышева. Делал без учета знаков, так как их легко расставить чередованием:

И синусный вариант, где второй род Чебышева:

- Андрюша, ты гений. Даже не знаю: сам бы я сумел догадаться?
- Вряд ли, дедуля. У меня мозги молодые, крепкие!
- Ха-ха! Зато я мудрый и опытный.
- Ну, тогда: "Да здравствуем мы!"

г. Москва
20 июля 2013 г.