renuar911's Journal

Глава 39. О, сколько нам открытий чудных готовит треугольник
.
.
- Деда! Ты помнишь, мы возились с треугольником?
- Андрюша дорогой! Мы так много с тобой возились с ним, что напомни конкретно.
- Да штрих-код сочиняли, помнишь?
- Прекрасно помню. Наша беседа оформлена в виде Главы 3 этой книги. А что такое?
- Хочется еще с треугольником повозиться. Нет никакой интересной задачи?
- Найдем сейчас на форуме... А, вот! Один студент под именем conjack просит такое решить:

- Давай ее решим!
- А может не будем? Понимаешь, Андрюшенька, тут нужно аналитическую геометрию вспоминать, пересечения прямых искать, систему сложную решать...
- Так мы же не руками будем решать. Вон, у нас Вольфрам какой сильный! Как Микки-Маус.
- Сравнил с какой-то мышью! Ладно, уговорил. Так, дай я сам вникну в содержательную часть. Так, нужно сначала все три уравнения записать в явном виде. То есть игрек равен тому-то и тому-то. С этим ты, я думаю, с легкостью крокодила Гены.
- Гыыыы! Крокодила Гены! Сию моменту! Так вот правильно?

- Отлично, Андрюшенька. Теперь построй эти линии и все-все оформи. Чтобы понятно было.
- Можно я в Вольфраме сделаю? А то Maple уже наскучило.
- Да бога ради! Нужно все уметь осваивать.
- Тогда я тут поколдую немного, хорошо? Я позову тебя, когда завершу... Деда! Иди смотреть! Вот что получилось:

- Ты славно поработал! Даже ограничения-неравенства вывел. А точки пересечения прямых? Ведь они есть вершины заданного треугольника.
- Точки я нашел. Их координаты целочисленные и легко выявляются по рисунку.
- Тогда ладно. Начнем двигаться дальше. Знаешь, внучек, что я только заметил?
- Что такое, дедуля?
- Посмотри, шкалы у икса и у игрека разные.
- Ой, я и не заметил. Что же делать? Переделывать?
- Нет, пока не стоит. Просто будем знать, что треугольник у нас немного искаженный. А в дальнейшем все сделаем, как надо.
- Тогда в путь, деда!
- Погоди. Еще одно. Почему ты переменные икс и игрек дал с индексом?
- Понимаешь, дедуль, этими переменными я как бы оформил границы треугольника. Зато все наши действия внутри треугольника, то есть координаты точки, которую надо найти, расстояния до сторон и прочее будем описывать через икс и игрек без индекса. Думаю, будет проще. Ведь впереди много всяких формул будет. Так?
- Вообще-то логика есть. Пусть будет по-твоему, ибо это такие мелочи по сравнению с мировой революцией.
- Какой еще революцией?
- Да это я так, просто шучу. Раньше модно было говорить, когда планету пугали призраком коммунизма. Ладно, давай ближе к делу, а то уйдем в политику, экономику и конвергенцию.
- А что такое... Ой, молчу, молчу. Что дальше будем бурить?
- Дальше будем вспоминать, как найти расстояние от точки до прямой. Ты помнишь?
- Помилуй! Я этого никогда и не знал! Знаю только, что нужно из точки опустить на прямую перпендикуляр.
- Верно! Кажется я начинаю вспоминать лекции Сканави. Надо же! Сорок с лишним лет прошло, а мозг сохраняет многие вещи! Давай так, я напишу формулу и затем ее проверим в интернете.
- А долго ее писать?
- Секунд тридцать или двадцать. Она коротенькая. Вот, кажется все правильно:

- Деда, как же ее применить к нашей задаче?
- Смотри внимательно:

- А! Я понял! Ты значит расстояния от нужной точки внутри треугольника задал пропорционально указанным в условии числам. И получил систему трех уравнений с неизвестными x, y, k . Осталось только решить ее. А как?
- Андрюша! Тебе ли у меня спрашивать? Реши систему в Вольфраме, например.
- Точно! Вот гляди - набираю в окошке
|2x+y-22|/sqrt(5)=20k&&|2x-y+18|/sqrt(5)=12k&&|x-2y-6|/sqrt(5)=15k
и получаю в итоге:

- Очень интересно! Теперь из этих четырех решений нужно выбрать такое, в котором координата точки (x, y) находится внутри треугольника.
- Я уже нашел, дедуля! Видишь, первое решение обвел тонкой рамкой. Вот единственная точка (-1, 4) , которая попала внутрь. Остальные - кто в лес, кто по дрова.
- Сейчас проверю... Ух, ты! Правда за тобой, однако! Ну, молоток.
- На этом все?
- Нет, нет! Нужно, Андрюшенька, комбинаторно перелопатить все перестановки чисел пропорциональности.
- И сколько придется лопатить?
- Естественно, еще пять вариантов.
- Ясно! Дай я. То есть у нас сейчас порядок 20k , 12k , 15k , а нужно еще:

20k , 15k , 12k
12k , 15k , 20k
12k , 20k , 15k
15k , 12k , 20k
15k , 20k , 12k

- Все правильно, внучек. Не зря же мы столько часов посвятили сочетаниям и перестановкам. Беседы не прошло даром. Раз ты все понял, то тебе задание: найти, если удастся, еще решения задачи. Я, честно говоря, не знаю - будет ли еще реальная точка, подобная нашей первой?
- Хорошо, дедуль. Оставь меня одного, я сделаю все, что в моих силах.
- А я пойду посуду помою и приготовлю яичницу с колбаской. Будешь?
- Еще как буду! Ну, все. Не отвлекай...
- Так, дорогой мой математик, обед готов. Как дела?
- Деда! Нашел еще пять точек! Вот это задачка! Смотри мою табличку:

- Если это так, то осталось последнее: построить неискаженный треугольник и нанести все шесть точек. От каждой точки провести по три перпендикуляра на стороны. Тогда увидим: верны ли наши потуги.
- Это, дедуля, за 15 минут сделаю... Вот, готово:

- Красота! Сейчас любую точку проверю по соотношениям длин перпендикуляров... Так, ошибка не больше трех процентов! Поздравляю тебя с блестяще выполненной работой. Ты у меня молодец! Пошли быстрей кушать холодную яичницу!
- Пошли! Я голодный, как волк.

17 декабря 2013 г.
г. Сидней