Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет ringill ([info]ringill)
@ 2008-01-15 12:09:00

Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Symbolic integration
Искать первообразную труднее, чем производную, это всем известно. Но насколько сложно для компьютера взять неопределённый интеграл (или определить, что его нет)?

В XIX в. известный математик Жозеф Лиувилль вывел общую формулу интегрируемых функций. Однако, алгоритма приведения произвольной функции к этой формуле известно не было; в 1916 г. Г. Х. Харди предположил, что его и не может быть. Он ошибался: алгоритм придумал Роберт Риш в 1968 году (Харди к тому времени 20 лет как не было в живых).

Алгоритм Риша вычисляет интеграл элементарной функции через элементарные функции или определяет, что это невозможно. К элементарным функциям относятся экспонента, логарифм, алгебраические функции и композиции элементарных функций. Речь идёт о пространстве комплексных чисел, т.е. все тригонометрические функции также элементарны.

Прекрасно, но забывать навсегда о символьном интегрировании рано. Отрезвляющая критика машинных методов звучала в Usenet со стороны Мануэля Бронштейна и Ричарда Фейтмана.
Бронштейн был одним из ведущих разработчиков Axiom, до своей смерти в 2005 году, вслед за основателем Axiom Дженксом.
Фейтман — один из ведущих разработчиков Macsyma и позже Maxima.

Они сообщали, что:
  1. Алгоритм Риша весьма непросто запрограммировать полностью, и во всех системах компьютерной алгебры (CAS) он представлен лишь частично. Наиболее полная имплементация находится в Axiom; написал её Бронштейн в паре с Барри Трагером.
  2. Алгоритм Риша не является алгоритмом в строгом смысле этого слова; он опирается на эвристику, по которой можно определить, является ли элементарное выражение константой (типа arctan(x)+arctan(1/x)). Эвристику — потому что алгоритма для этой задачи (Constant Problem) не может существовать в принципе, а значит и алгоритма Риша как такового нет.

Примеры, показывающие несостоятельность процедур символьного интегрирования в современных математических пакетах, есть. Интеграл функции

x/sqrt(x^4 + 10*x^2 — 96*x — 71)

не может найти ни Mathematica 6, ни Maple 11, ни Matlab R2007a, ни Maxima. Находит только Axiom. Интеграл функции

exp(arcsin(x))

находят только Mathematica и Axiom.


(Читать комментарии)

Добавить комментарий:

Как:
(комментарий будет скрыт)
Identity URL: 
имя пользователя:    
Вы должны предварительно войти в LiveJournal.com
 
E-mail для ответов: 
Вы сможете оставлять комментарии, даже если не введете e-mail.
Но вы не сможете получать уведомления об ответах на ваши комментарии!
Внимание: на указанный адрес будет выслано подтверждение.
Имя пользователя:
Пароль:
Тема:
HTML нельзя использовать в теме сообщения
Сообщение: