У вас усыновление, опека или приемная семья? Хотя в Москве приемную не оформят наверное.
Если усыновление, также как кровного. Если опека - немножко по-другому, чтобы сохранить ребенку право на жилье по совершеннолетию.
В МО мы ходили в паспортный стол, несли свидетельство о рождении, свой паспорт и постановление об опеке, и в заявлении надо писать "регистрация до совершеннолетия". Сдавали это туда, а через несколько дней забирали.
Гражданство делали в ОВД. А что у вашего оно еще не сделано в учреждении было?

Правда, наверное, надо сначала гражданство делать, а потом регистрацию. Скорее всего, в паспортном столе потребуют эту пометку о гражданстве на свидетельстве о рождении