Все статьи подряд / Математика / Хабр's Journal

Пределы Формальных Систем: Теоремы Гёделя о Неполноте и Их Значение для Математики

Математика традиционно воспринимается как область абсолютной достоверности, где каждое корректно сформулированное утверждение либо истинно, либо ложно, и где истинность, по крайней мере в принципе, может быть установлена путем строгого логического доказательства, исходящего из набора фундаментальных аксиом. В начале XX века это представление достигло своего апогея в программе Давида Гильберта, целью которой была полная формализация математики — построение единой, непротиворечивой и полной аксиоматической системы, способной охватить все математические истины и, что немаловажно, доказать собственную непротиворечивость. Однако в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель опубликовал работу «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I», которая радикально изменила ландшафт оснований математики. Его две теоремы о неполноте продемонстрировали фундаментальные ограничения формальных аксиоматических систем.