> Вообще определение ультрафильтров на языке
> идеалов в кольцах это моя новация, я нигде подобного
> не встречал.

Interesno. Eto vrode by chastnyi' sluchai' teoremy Kochen'a o sootvetstvii mezhdy idealami v pryamom proizvedenii kolec s deleniem proindeksirovannymi nekim mnozhestvom i fil'trami na etom mnozhestve; maksimalnye idealy sootvetstvuyut ultrafil'tram (kontekst sm. v "Spravochnoi' knige po matematicheskoi' logike", statya ob ultraproizvedeniyakh). Vashe otozhdestvlenie est' sluchai' kogda vse kol'ca izomorfny Z_2.

> Видел про следствия аксиомы выбора книгу, не купил,
> теперь жалею страшно.

Vot kartinka iz LNM 1876 (2006), H. Herrlich, "Axiom of Choice":



Po povodu primeneniya lemmy Zorna: v algebre, po krainei' mere, ona primenyaetsya pochti vsgeda kogda dokazyvaetsya suchestvovanoie kakogo-libo ultrafil'tra: dokazyvaetsya chto kakoe-nibud' mnozhestvo imeet finite intersection property, i sledovatel'no, soderzhitsya v kakom-libo ultrafil'tre. Poslednee, v svoyu ochered', primenyaetsya mnogo v teorii kolec (tipa chego-nibud' etakoe vkladyvaetsya v kol'co s deleniem), v strukturnoi' teorii beskonechnomernykh Jordanovykh algebr, etc. Odnako v sily vysheskazannogo eto, navernoe, ideologicheski ravnosil'no suchestvovaniyu maksimal'nogo ideala.