\определение
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\бф эквивалентностью категорий}, если
найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$
такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному
функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен
тождественному функтору на $\cac_2$.
\ео

Впервые вижу такое определение, хотя оно и эквивалентно привычным мне. Обычно предполагается, что G=G'. Вот еще одно полезное определение, или, если хочешь, критерий: функтор является эквивалентностью категорий, если он биективен на морфизмах между любой парой объектов и сюръективен на классах изоморфизма объектов.

Чтобы убедить студентов в интересности/полезности категорий, я бы рассказал про универсальные объекты -- представимые функторы -- сопряженные функторы, с соответствующими примерами.