|
|
Пишет Dmitri Pavlov (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} dmitri_pavlov) |
Сложность теоремы Тихонова вытекает из того,
что общая топология пользуется неправильным формализмом.
Если формулировать всё на языке локаль, то доказательство становится проще и аксиомы выбора не требует:
http://mathoverflow.net/questions/2
Вообще, все или почти все существенные теоремы, требующие аксиому выбора,
на самом деле в ней не нуждаются, если их формулировать на языке локаль.
Например, теорема Хана-Банаха: http://mathoverflow.net/questions/4
И многие другие разнообразные результаты: теорема Банаха-Алаоглу,
компактификация Стоуна-Чеха, всевозможные эквивалентности
типа Стоуна между алгебрами и пространствами (булевы алгебры,
C*-алгебры, алгебры фон Нойманна),
различные результаты в алгебраической геометрии,
базирующиеся на максимальных идеалах.
Ещё более важным фактором является то, что
на языке локаль все эти теоремы верны также
в семейственной и эквивариантной форме,
что в классическом случае совершенно неверно
(например, для теоремы Хана-Банаха).
Всё это указывает на то, что Хаусдорфф и Куратовский немного
промахнулись с основным определением общей топологии.
Равно как и Каратеодори (или кто-то другой),
когда определял понятие измеримого пространства
(теория меры на языке локаль тоже сильно упрощается).
Про то, что классическое понятие топологического
пространства не подходит для общей топологии,
писал ещё Гротендик.
что общая топология пользуется неправильным формализмом.
Если формулировать всё на языке локаль, то доказательство становится проще и аксиомы выбора не требует:
http://mathoverflow.net/questions/2
Вообще, все или почти все существенные теоремы, требующие аксиому выбора,
на самом деле в ней не нуждаются, если их формулировать на языке локаль.
Например, теорема Хана-Банаха: http://mathoverflow.net/questions/4
И многие другие разнообразные результаты: теорема Банаха-Алаоглу,
компактификация Стоуна-Чеха, всевозможные эквивалентности
типа Стоуна между алгебрами и пространствами (булевы алгебры,
C*-алгебры, алгебры фон Нойманна),
различные результаты в алгебраической геометрии,
базирующиеся на максимальных идеалах.
Ещё более важным фактором является то, что
на языке локаль все эти теоремы верны также
в семейственной и эквивариантной форме,
что в классическом случае совершенно неверно
(например, для теоремы Хана-Банаха).
Всё это указывает на то, что Хаусдорфф и Куратовский немного
промахнулись с основным определением общей топологии.
Равно как и Каратеодори (или кто-то другой),
когда определял понятие измеримого пространства
(теория меры на языке локаль тоже сильно упрощается).
Про то, что классическое понятие топологического
пространства не подходит для общей топологии,
писал ещё Гротендик.
Добавить комментарий:
