Интеграл Лебега, естественно, проще,
а Римана на мой взгляд вообще упоминать не надо.
Просто забавно наблюдать, как существующий
теоретико-множественный формализм мешает
даже нормально определить основную категорию
теории меры (хотя определять эту категорию
можно и с локалями, и с обычной теорией множеств).
Да и технически локали проще — например,
не нужны никакие конструкции отождествления
для избавления от множеств меры нуль.

По этой же причине в курсах теории меры
совершенно не говорят про морфизмы измеримых
пространств. Без понятия морфизма совершенно
невозможно понять условные математические
ожидания, которые являются ничем иным,
как семейством вероятностных мер на слоях морфизма.
В классическом изложении вместо этого
несут ахинею про под-сигма-алгебры,
интуитивный смысл которой понять нельзя.

К топологии Зарицкого общая топология, естественно, не применяется.
Просто там используется тот же формализм, и возникают те же эффекты вроде необходимости использовать лемму Цорна или аксиому выбора для доказательства даже
простых утверждений.
В формализме локалей ничего такого нет.