А, нет, есть-таки у тебя в этом месте вранье.

Смотри, как ты хочешь доказать, что существует подпоследовательность, сходящаяся поточечно. Ты говоришь, что произведение замкнутых дисков компактно ввиду Тихонова, так что у исходной последовательности $\{f_n\}$ есть предельная точка $f$. Но так как у этой точки нет счетной базы окрестностей, ниоткуда не следует, что существует подпоследовательность, сходящаяся к этой предельной точке!

Я так накололся в своей книжке: написал, что существование сходящейся подпоследовательности вытекает из теоремы Тихонова, но так как мы ее не доказывали, то так уж и быть, докажем без нее.

Указал на ошибку, кстати, Ваня Я.