Пардон, не заметил, что вещественная.
Тогда надо брать максимальную компактную подгруппу,
то есть SO(6)/U(3). Это симметрическое пространство,
обозначенное \Gamma_3, и его гомотопические группы
хорошо известны науке

Их можно найти из гомотопической точной последовательности
\Gamma_2\arrow \Gamma_3 \arrow S^4
что дает \pi_5(\Gamma_3) = \pi_5(\Gamma_2) с
точностью до конечной группы
учитывая, что \Gamma_2 есть трехмерная сфера
то ли \R P^3, получаем, что \pi_5(\Gamma_3) конечно.

Чему оно равно точно см. в статье
http://www.jstor.org/pss/1993720
Some Calculations of Homotopy Groups of Symmetric Spaces
Bruno Harris
Transactions of the American Mathematical Society
Vol. 106, No. 1 (Jan., 1963), pp. 174-184