>то, что там гессиан в экстремуме знакоопределен, само по себе нетривиально
Пусть все f_{ij} в какой-то точке равны нулю. Но i,j бегают по всему базису из гармонических n-форм, значит произведение любых гармонических n-форм равно нулю в данной точке, а это противоречие с условием теоремы.
>существование же экстремума - дико сложная бесконечномерная задача
по типу Ямабе и Калаби-Яу
Но ни в Ямабе ни в Калаби-Яу нет офигенно мощного условия в духе, что базис гармонических форм вообще можно выбрать не зависимым от метрики из данного конформного класса, это ж такая фишка прикольная для когомологий половинной размерности. Если же пытаться по всем метрикам варьировать функционал, тогда там даже в случае 1-форм вылезает дикое уравнение, у которого коэффициенты являются решениями уравнения Пуассона, то есть "дико сложная бесконечномерная задача".