"Поскольку кольцо O_A порождено координатными мономами, оно
счетномерно как векторное пространство над C."

Возможно, я что-то упускаю, но это кажется неверным; поскольку O_A определено как кольцо рациональных функций, оно включает в себя в частности несчетное кол-во разных 1/(x-a). Вы нигде не вводите полиномиальное кольцо над A (C[x_1...x_n]/I(A)), но по-моему, именно оно требуется для этого док-ва (оно счетномерно, его делим на I, итд.). Я полный профан в этом и знаю только самый минимум базисных знаний, так что может говорю глупости, но так мне показалось.