Как говорится, "обратно наврал". 7.1.1 это не лемма Нётер на самом деле, а теорема Коэна-Зайденберга о подъёме. Что-то как-то всё поперепуталось, да.

То есть, автор прав, наверное.

Хотя -- у Ленга в доказательстве 9.1.1 используется представление кон. расширения поля k как конечного алг. расширения
некоторого (конечного) чисто трансцендентного расширения поля k. Это очень похоже на содержание леммы Нётер о нормализации (которая формулируется в более общем случае).