Я в своё время на кружке в 8-м классе обсуждал, сколькими способами можно "доказать", что резиновые бублик и мячик (двумерные) - разные штуки. Начиная от разрезания вдоль замкнутой кривой через теорему Эйлера, причёсыванием ежей, раскраску карт и вплоть до откровенно жульнического факта, связанного с вложением в эр три.

Если студент знаком с этими вещами, то пора поучить немного формальную топологию, а если нет, - сей предмет навсегда останется упражнениями в том, какая аксиома счётности делает равносильной компактность и секвенциальную компактность, и что связность и линейная связность - это не одно и то же.

А если говорить про большую жизнь, то я бы вернулся к топологии в момент, когда появляются функциональные пространства, и рассказал бы, что эти пространства бывают настолько здоровенными, что никаких "разумных" структур, кроме топологии, на них не остаётся, зато именно топология иногда позволяет совершенно неконструктивным образом доказывать существование разного рода няшечек. Потому что без осознания этого факта тот же хипеж вокруг работ Перельмана становится непонятным, - чего это все так переполошились, подумаешь, топологическое утверждение доказано введением дополнительной метрической структуры...