Миша,

касательно последней теоремы в лекции 10.

Либо я что-то не так понял, либо надо поправить. Есть две независимых друг от друга теоремы

1. Теорема Крылова-Боголюбова. Для гомеоморфизма компакта есть инвариантная мера. ( Ну и для R-действия, не суть).

2. Теорема Биркгофа. Если есть инвариантная мера, то для "почти всякой" точки есть предел. Разумеется слова "почти всякой" не имеют смысла без _заранее_ заданной меры.

В том виде, в котором теорема в лекции 10 сформулирована, она не верна ( если только что то по умолчанию не подразумевается дополнительно, чего я не уловил). Можно(не слишком сложно) соорудить(неинтересные) контрпримеры.

Тем не менее комбинацией теорем Крылова и Биркогфа можно соорудить верную эргодическую теорему для гомеоморфизмов компакта.