В большинстве книжек само определение многообразия через карты подразумевает знание того, что такое частная производная.

При доказательствах того, как выглядит иммерсия/субмерсия, используют доказанные штуки для R^n.

Конечно, какие-то нужные сведения из стандартного анализа можно добавить в книгу про многообразия, но книга J.Lee уже >700 страниц, так что нынешнее разделение курсов мне видится педагогически верным.