в вышке и НМУ теорию когомологий читают как раз традиционным способом (как ты и предлагаешь)
по словам тех, кто ее читал (Бурмана и еще кого-то), студенты не догоняют ее до такой
степени, что со следующего года когомологии из программы просто выкинут

основная проблема (помимо непонятности определения) в том, что
эквивалентность сингулярных и клеточных когомологий нормально
рассказатть на втором курсе невозможно, и это правда, если
начинать с этого курс, студенты отрубятся и уже ничего не усвоят