>в начале третьего

в начале третьего как раз можно рассказать над Z и все прочее

>Дерамовские когомологии бывают только для многообразий, только с
>коэффициентами в R

а все остальное особо и не нужно
(нужно, но область применимости многократно уже)

>неочевидны кажется вообще все стандартные свойства когомологий

Майер-Виеторис очевиден, точная последовательность пары,
и двойственность Пуанкаре

> и пытаться это использовать как введение именно в топологию

да хуй с ней, с "топологией", она ни для чего особо, кроме формулы
индекса (и РР-Хирцебруха) с теорией Ходжа и не нужна, а для них
достаточно де рамовских

хотят алгебру Стинрода изучать,
изучат ее на 3-м курсе или когда-нибудь еще,
но для приложений в остальном математике (вне
топологии и гомологической/гомотопической алгебры)
она не сильно необходима

а вот без 5-леммы и леммы о змее никак нельзя, для чего курс введения
в когомологии весьма полезен (и тут коэффициенты R как раз плюс,
ибо изрядно упрощают аргументы)

Может быть, надо вместо этого
просто сделать курс гомологической алгебры, но (а)
будет слишком сухо и (б) продавить его через коллег будет труднее
(в) есть шанс, что студенты будут демотивированы отсутствием
приложений и простых задач, где это дело применяется

Кроме того, опыт показывает, что даже совсем простые гомотопические
конструкции (типа расслоений Серра и точной последовательности
гомотопий в расслоении) среди целевой аудитории не идут. Думаю,
что если нужно введение в гомотопии, этого материала вполне хватит.

Но что сингулярные когомологии (в традиционном, нму-водовка-картофанчик
как-мне-противно-стало-от-вашего-треда формате) на втором курсе не идут, это
экспериментальный факт. Думаю, что именно потому, что без де Рама
они провисают в воздухе. Лично у меня ушло года 2-3 между тем,
как я освоил де Рама (в 9-м классе, по Лорану Шварцу),
и тем, как я разобрался с формулой замены коэффициентов
и двойственностью Пуанкаре над Z. Она там гораздо
более гнусно формулируется, и без гомологической алгебры
(функторов тора) ее лучше вообще не касаться.

И последовательность, когда люди учат де Рама сначала,
и осваивают сингулярные когомологии сильно после, не только
исторически аккуратная, но и оптимальная педагогически,
потому что де Рама много проще, а основные идеи (лемма
о змее, 5-лемма, точные последовательности, теорема Стокса)
там уже видны.

Такие дела
Миша