>наглядно видимый потенциально рекурсивный объект

не очень рекурсивный: пространство всех компактов не
компактно, а в основном интересно именно оно.

но в принципе - да, можно его получить, но надо ограничить мощность
твоего метрического пространства (точнее, плотного подмножества в нем).
Громовское пространство, классифицирующее эти метрические пространства,
имеет бОльшую мощность.

Можно взять объединение
всех громовских пространств для всех мощностей, оно вполне хорошее метрическое пространство,
но не множество, а класс. Картинка примерно как с ординалами:
объединение всех ординалов само по себе ординал, но не множество, а класс.
Собственно, здесь все как с ординалами: множество классов эквивалентностей
ординалов ординал, множество классов эквивалентности полных метрических
пространств - полное метрическое пространство.

Но как и с ординалами, я не вижу внятной (и не откровенно педантской)
формулировки, которую тут можно навесить. Тратить полстраницы на объяснение,
что такое класс, в "легком и популярном" введении неуместно (в самом тексте -
вполне уместно).