> Я уже забыл, но помню что производные функторы начали вылезать где-то.
> Да и само опреление сингулярных когомологией техническое и с индексами

Сингулярные когомологии для разумных пространств совпадают с соотв. когомологиями пучков, т.е. производные функторы они и есть. Конкретный комплекс для подсчета сингулярных когомологий — это не техническое и с индексами, оно всё приходит из симплициальных множеств.

Кстати, популярный нынче учебник Хатчера по алгебраической топологии (который вы скорее всего читали) довольно плохой, потому что Хатчер не специалист в вопросе, он "маломерный тополог".