я помню, мне самая тяжелая задача в первой главе Харстсхорна была теорема Крулля-Акицуки (про то, что можно продолжить в коразмерность 2). в комплексном случае это очевидно, но не помогает решить задачу из Хартсхорна. она дана там для нормальной точки чуть ли не аффинной поверхности - но я не знаю другого способа (ни применимого в первой главе, ни вообще), кроме как решать её через общие нётеровы целозамкнутые кольца. я помню, я её решил, и был горд (там вроде бы и сразу доказательство критерия дискретной нормированности - нормально, нетерово, целозамкнуто - совсем рядом), но там какой-то был мучительный infinite descent + ascending chain stabilization argument. Впрочем, Рома Б. говорил, что там несложный "трюк с дискриминантом", но это я как раз не знаю (видимо, что-то осмысленное - и несложное, но для Ромы).

но в А.-М. вроде как раз всё просто, потому что там нет градуированных колец, Коэна-Маколея и далее везде. что есть в Мацумуре и Бурбаках, но вроде сейчас есть Эйзенбад менее жёсткий.