Я что-то не соображу; чех - это же не про фиксированное хорошее покрытие, это прямой (или обратный, как это запомнить, блин) предел по всем покрытиям вообще. А, ага, я почему-то считал, что это другой способ считать когомологии глобальных сечений инъективной резольвенты; но
It is always an isomorphism in degrees n = 0 and 1, but may fail to be so in general. Там надо гиперпокрытия добавлять, чтобы всё сошлось.
А, всё, понял и вспомнил, что значит "конкретное разрешение".

Впрочем, у хороших пучков они и на плохих пространствах - мало что может быть хуже топ. зарисского - совпадают.

Но там (в задаче из Ф.-Ф.), кажется, удобно было использовать не "самое правильное" определение, а именно чеха - чтобы решить задачу. Эх, надо поискать повспоминать.

При этом там где-то недалеко, в районе теоремы Лефшеца, совершенно изумительная задача - доказать, что у тора, топологически вложенного (или даже погруженного) в C^2, есть касательная комплексная прямая, и предлагается доказать это через индекс пересечения.

А кстати какое свойство чех утрачивает на плохих пучках в плохих пространствах ? А, чех вроде не функториален даже (а зато сингулярных симплексов в плохие пространства просто нет). Зато Чех легко определяется для пучка некоммутативных групп.

Впрочем, ещё на mathoverflow руками Шрайбера написано, что на самом деле "правильное" определение - это брать связные компоненты hom-\inf-группоида (и Чеха слепые, а RГ глухие), но тут за такое, наверное, убивают, а что хуже, я не понимаю, что это значит.