да, и правда, для чётной нормы строгого неравенства не будет.
но если добавить к кватернионам с коэффициентами из Z кватернионы с коэффициентами из Z+1/2, всё будет хорошо.
Если вдруг w оказался с половинчатыми коэффициентами, его всегда можно умножить на один из обратимых (+-1/2,+-1/2,+-1/2,+-1/2) и получить ассоциированный с целыми коэффициентами. Это несложно, хотя и нудно, проверяется.

вообще, мне кажется, можно остаться и в H(Z). там будут чуть сложнее устроены идеалы -- кроме главных вылезут всякие 1+i,1+j, но арифметика должна работать. надо будет расписать это всё как-нибудь.