блин, получается длинно, не хватает времени.
вкратце так:
а) мотивировка состоит в том, что если у вас две толстые струны настроены на две близкие частоты, и вы их дернете одновременно, вы услышите, как звук то нарастает, то ослабевает периодически; это называется "биение".

с т.з. математики выглядит это вот так:


т.е. как будто мы не сложили два колебания, а высокочастотное колебание умножили на низкочастотное (длинноволновое).

так происходит по следующей причине: когда вы складываете
exp(iωt) + exp(i(ω+ε)t), у вас складываются два движения стрелок по окружности с близкими частотами: сначала они идут вместе, но первая стрелка чуть-чуть отстаёт, и когда она делает оборот, вторая стрелка делает чуть больше оборота, опережая, и теперь они смотрят уже не в одну сторону и их сумма по модулю чуть меньше 2. опережение с каждым оборотом будет всё сильнее (и понятно, на сколько - на ε/ω оборота), соответственно, за ω/ε оборотов они снова встретятся. Но есть нюанс - если посмотреть на "волновой пакет" модулированного сигнала, будет видно, что это половина периода модулирующего синуса, потому что от него виден только модуль; соответственно, когда сумма двух экспонент наберёт снова полную амплитуду, это будет только половина периода модулирующего сигнала; поэтому его частота не ε (ω/ε раз по 1/ω будет 1/ε), а ε/2 (т.к. длина волны, наоборот, вдвое больше).

соответственно, модулирующий сигнал есть cos(i(ε/2)t), и если на него поделить, как раз получится высокочастотная компонента

exp(iωt) + exp(i(ω+ε)t) = (exp(i(ε/2)t) + exp(-i(ε/2)t)) * exp(i(ω+ε/2)t) =
cos(i(ε/2)t) * exp(i(ω+ε/2)t)

но тут, конечно, тоже остаётся некоторое жульничество (почему надо модулировать комплексную экспоненту вещественным косинусом, а не комплексной же экспонентой, например ?). тем не менее это важное мотивирующее соображение (про то, как найти частоту биения по близким частотам двух струн).

чисто математическое же рассуждение вот какое:

умножение на z = exp(ia) + exp(ib) - это конформное линейное преобразование плоскости (т.е. поворотная гомотетия); найдем, во сколько раз оно растягивает и на какой угол поворачивает (это будет соответствовать амплитуде и фазе сигнала из физики). первое - это модуль (и там в лоб будет конфуз, потому что нужно увидеть, что там получится полный квадрат, чтобы извлечь корень из z * ̅z, а это тоже не совсем видно невооруженным взглядом),

а вот угол получить, странным образом, как раз проще - нужно z разделить на модуль (чтобы оставить чистую фазу), т.е. z/sqrt(z * ̅z) = sqrt(z / ̅z) = sqrt((x + y)/(1/x + 1/y)) = sqrt(xy) = sqrt(exp(i(a+b)) = exp(i(a+b)/2). ну а теперь уже легко поделить на это число z и останется чистый модуль - косинус полуразности.

так что тут вполне можно обойтись без трюков, на одном понимании, как живут комплексные числа.