Re: Winner?
самая сложная (у шварца доказывается с помощью четырех (или пяти) лем): теорема о разложении единицы. Если , короче, взять пространство Х и оно счетное локально-компактное (т.е. типа бесконечное,но счетное(т.е. считать в нем можно) и может быть покрыто компактными множествами или просто компактами), т.е. в это множество покрыто компактами или компактными окрестностями, то есть в свою очередь такими подмножествамии в которых есть такое покрытие из частей (конечных или нет), что из этих частей можно пересобрать хоть одним способом по-новому точно такое же покрытие (говорят что у покрытия имеется подпокрытие) и причем это подпокрытие конечно, а исходное покрытие может быть бесконечным. вот. тоесть если у нас есть такое пространство Х, покрытое счетным числом компактов (локально-компактное пространство) и вот это покрытие (компакты эти сраные) мы назовем Ω_i . то, всегда существует набор вещественных непрерывных функций α_i каждая из которых имеет компактный носитель в своем i-том компакте (то есть за его пределом ванильно уходит в ноль). и, короче, еще две темы: 1) сумма всего этого набора функций == 1.0f
2) если взять "вообще левую" точку в єтом пространстве Х, то у нее всегда есть окрестность, где лишь конечное(!) число α_i не будет == 0.0f .

такая короче теорема, что если есть пространство, которое позволяет почикать все себя на кусочки(паракомпактное пространство), то уже автоматом есть система функций, каждая из которых не равна нулю в каждом своем кусочке, а все вместе они, их скмма равна единице. ну и что у любой точки паракомпакта есть окрестность, где конечное число этих функций !=0. получается, что и система функций и количество частей (кусочков-компактов) может быть счетным(бесконечным).
Это очень выгодная теорема через нее потом доказывается теорема меры нуль всего множества, как сумма мер-нуль подмножеств.