>можно ввести на нем комплексную структуру с какими-то условиями
роста на бесконечности, продеформировать в стабильное и применить
Хитчина-Симпсона

О, вот это-то, что нужно в размерности 2, спасибо!

>Тривиализация
>заданного многообразия с нулевыми хар-классами - известная
>задача

Да, в случае компактного ориентируемого трехмерного многообразия без границы я только так и знаю: https://math.stackexchange.com/a/275489
(формулы Ву и зануление первого класса Штифеля-Уитни). Что происзодит в некомпактном случае/с непустой границей-непонятно.