кажется, нашел, где дыра:
последний шаг

{\bf \purple It remains to show that the limit $B$ is unique.}
Suppose that $B_1, B_2$ are two limit points of $\{A_n(x)\}$.
Then $E=B_1-B_2$ is a difference of two projections of $V$ to $V_0$,
hence $E$ is a map from $V_1= V/V_0$ to $V_0$. Denote by $K_1$ the
image of $K$ in $V_1$. Then $E$ can be considered as an
affine map from $K_1$ to $V_0$. The space
$\Map(K_1, V_0)$ has no non-zero $A$-invariant vectors,
because $\lim_n\frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} A^n(x)=0$
on $K_1$ and hence on $\Map(K_1, V_0)$. Therefore,
$EA=E=AE$ implies that $E=0$.

видимо, ошибочен: инвариантные отображения из компакта существуют
(строются через ультрафильтры), хотя инвариантных векторов в K_1 и нет
замечательно, спасибо