В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.