> Существование следует из того, что его можно записать локально

Угу, я как раз об этом. Если писать не в координатах, там появляется
второе слагаемое, которое не имеет никакого отношения к формуле Стокса,
т.е. тому, что d - кограница, а является поправкой второго порядка из-за
того, что поля не коммутируют (может быть, у нее есть какой-то "глубокий
геометрический смысл", но мне он неизвестен):



Наверняка студентам полезно понимать, что формула Стокса - это фактически
тавтология, по модулю взаимоуничтожения внутренних границ; и дифференциал -
локальная формула Стокса и есть.

Вред от координат, с моей точки зрения, ровно таков: у (многих) студентов
стирается геометрический смысл, и они воспринимают дифференциальные
формы и проч. как формальную манипуляцию со значками (то, что Дмитрий
ниже называет "начетничеством" - но как раз там я его не вижу).

Есть знаменитая история, кстати, как Эйнштейн с Розеном отменили
гравитационные волны, потому что дифференциал выбранной проекции
у обращался в ноль (карты не хватило), а они решили, что у решения
особая точка и оно нефизично:

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/433234/Razgnevannyy_Eynshteyn_i_temnyy_retsenzent

При этом Эйнштейн, судя по всему, хорошо понимал, что такое связность и кривизна, в терминах
"локальных систем отсчета"; но, кажется, тогда у физиков это было редкость, поговорить ему было
не с кем, и из-за этого возник такой сбой.