Ты можешь последовательно с начала до конца написать, как не выбирая базис построить дифференциал? Что такое дифференциал функции, понятно (тут не надо и векторное пространство выбирать); вот у тебя есть 1-форма, сечение кокасательного расслоения, и есть n-мерное векторное пространство функций V (в котором не выбирается базис); как построить 2-форму, сечение /\^2 T*M?

Можно и без векторного пространства функций, вообще, потому что скобка Ли векторных полей определяется бескоординатно, это просто коммутатор дифференциальных операторов, который по магической причине оказывается первого порядка; и можно в координатах; а как сделать посередине, я не знаю.

Про след: мне надо подумать и посмотреть в книжке де Рама (если правда интересно).