Я имел в виду следующее: есть векторное пространство k-цепей, то есть линейных комбинаций k-мерных гладких симплексов (или кубов); это стандартный первый шаг теории гомологий (потом выбирают линейные комбинации, у которых граница равна 0, и факторизуют по линейным комбинациям границ (k+1)-мерных симплексов; то, что получилось, называется k-мерным пространством гомологий).

И есть дифференциальные формы, субстрат интегрирования, тоже образующие векторное пространство; k-мерные формы можно интегрировать по гладким k-цепям, получается спаривание этих двух пространств.

Кроме этого, есть "обычные симплициальные (ко)гомологии", когда симплексы не гладкие, а любые непрерывные, и на пространстве их цепей берутся любые линейные функции, называемые "коцепи". Эта пара пространств строго двойственная, и спаривание V⨂V^* -> R в линейной алгебре называется "след" (пространство Hom(V, V) изоморфно пространству V⨂V^* в конечномерном случае, и это спаривание соответствует следу матрицы оператора из Hom(V, V) в любом базисе).

Конечно, гладкие симплексы - не то же самое, что любые; по произвольному непрерывному симплексу не проинтегрируешь, непрерывное отображение разрушает касательное пространство; но пространства (ко)гомологий для достаточно приличных многообразий получаются одинаковые, это называется "теорема де Рама", и причина этого в том, что любой симплекс и любую цепь можно сколь угодно хорошо приблизить гладкой.