Про \Delta и \Gamma частичный ответ такой.

Есть функтор Т:операды->категории. Точнее - по операде в категории V функтор Т строит категорию internal to V. Далее операды - в категории множеств. Планарный вариант T из терминальной планарной операды uAs_p строит \Delta. T(uCom)=\Gamma, где uCom - терминальная симметрическая операда. T(uAs) эквивалентна \Delta, где uAs - симметризация uAs_p, то есть uAs(n)=S_n.

Пример, где эта конструкция неявно встречается - http://imperium.lenin.ru/~kaledin/math/pira1.pdf
Для любой операды P определен функтор T(P)\to U(P), где U - некоторая известная конструкция. Функтор \hat{C}^{op} из 1.4 - это функтор T(uAs)\to U(uAs). Вся часть 1.4 получается сама собой при правильном взгляде на T.

Конструкция T была обнаружена двумя независимыми путями: при попытке понять как построить \Delta и более сложные категории по соответствующим операдам, и как обобщение известной конструкции из теории категорий на операды.

У конструкции T, как для операд, так и для категорий, есть два естественных источника/определения. Первый - конструкция U. Второй - в каком-то смысле сама конструкция T. У конструкций U и T есть простой некомбинаторный смысл, который без операд не сформулировать.

> теорема
Барратта-Придди-Квиллена, естественный взгляд на которую как раз дан в Categories and cohomology theories. Но тут я перепутал. В недавней статье доказывают некую теорему-1, для чего доказывают теорему-2, уточнение теоремы Б-П-К. Теперь же теорема-1 сама собой получается как следствие из правильного взгляда на то, про что написано выше. Не знаю, получается ли из этого Б-П-К.