Категория - это хороший предпучок над T(uAs). Бесконечность-категории и параметризированные связные спектры - это хорошие симплициальные предпучки над T(uAs) и T(uCom). Можно брать другие операды и получать аналогичные понятия. Например, из операды моноидов-со-следом получается категория, содержащая Delta, Connes cyclic Lambda, и еще что-то. Хороший предпучок на этой категории - это категория, циклический нерв этой категории, и аналог следа.

То есть из трех типов "алгебр", ассоциативной / ассоциативной и коммутативной / ассоциативной со следом, получаются три набора классических понятий. Сейчас соответствие 'тип алгебры -> набор понятий' использует именно операды. Другие способы кодировать типы алгебр не факт, что вообще работают, в любом случае сложнее, и интуитивно должны давать другие категории.