Не про континуальные интегралы же, мы про "теорию классического поля". То есть не нужно придумывать "квантование" - деформацию классической механики и теории поля не очень понятно, во что; гидродинамика несжимаемой жидкости без трения (aka "теория классического векторного поля") вполне себе существует, есть группа гладких диффеоморфизмов, есть алгебра Ли полей на ней (как я понимаю, Ли начинал именно с этого, но оно оказалось слишком сложным).

То есть классическая механика - это теория обычных дифференциальных уравнений, а классическая теория поля - это урчапы, и там жизнь намного печальнее.

Известен пиздец с элементарными свойствами решения популярного уравнения Навье-Стокса (судя по всему, они взрываются за конечное время, но это не точно); что известно про ту пару, про которую говорит bors - уравнения Максвелла + "уравнения гладкого скалярного поля зарядов", пусть он скажет.

Кстати, хочу про Эйлера отдельно заметить: он использовал "расходящиеся ряды", насколько я помню, исключительно мотивировочным образом (и не только их, у него ещё было некорректное доказательство леммы "про целые Эйзенштейна" для "теоремы" Ферма при n=3); обычно он к ним приклеивал потом корректные доказательства (про сумму обратных квадратов уж точно). Точно также у Архимеда есть, как пишут, много механических рассуждений про касательные и объемы, но к ним всем приклеены строгие доказательства по меркам греческой науки; почему упоминаю: уже ни Дирак, ни Виттен такой роскошью не заморачивались.